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高阶线性常系数微分方程二、二阶线性常系数

高阶线性常系数微分方程二、二阶线性常系数微分方程一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程的一般形式为n阶线性齐次微分方程n阶线性非齐次微分方程一、二阶线性微分方程解的结构线性微分方程的定义二阶线性齐次微分方程的解的结构定理(解的叠加原理)证代入方程左边,得问题:例:设y为()的解,则y=y是()的解,但是,y=CyCy不为()的通解为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念例如:在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关又如:若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为,可见在任何区间I上都线性无关线性相关存在不全为的使线性无关常数思考:中有一个恒为,则必线性相关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:例如推论是n阶线性齐次微分方程的n个线性无关解,则方程的通解为二阶线性非齐次微分方程解的结构证将代入方程①左端,得是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为因而②是通解例已知y=x及y=sinx为某二阶线性齐次方程的解,求该方程解例解() 由题设可得:解此方程组得() 原方程为由解的结构定理得方程的通解为(非齐次方程之解的叠加原理)n阶线性微分方程二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:思考题解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,练习题练习题答案作业习题(P):。

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