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高阶常系数线性微分方程、欧拉方程ppt免费下载

续二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程形如即是方程()的两个线性无关的解故方程()的通解为由刘维尔公式求另一个解:于是当特征方程有重实根时方程()的通解为故当特征方程有一对共轭复根时原方程的通解可表示为均为方程()的解且它们是线性无关的:由线性方程解的性质:)特征方程有一对共轭复根:是方程()的两个线性无关的解其通解为二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式解解解故所求特解为解取x轴如如图所示。

由力学的虎克定理有(恢复力与运动方向相反)由牛顿第二定律得我们要找的规律是下列初值问题的解:从而所求运动规律为n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为二、n阶常系数齐线性微分方程解在研究弹性地基梁时遇到一个微分方程试求此方程的通解。

解三、二阶常系数非齐线性微分方程形如它对应的齐方程为我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下()的特解。

方程()对应的齐方程()的特征方程及特征根为由方程()及多项式求导的特点可知应有方程()有下列形式的特解:方程()有下列形式的特解:方程()有下列形式的特解:当二阶常系数非齐线性方程其中:解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程得比较两边同类项的系数得故原方程有一特解为综上所述原方程的通解为解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的通解为将它代入原方程得故原方程有一特解为综上所述原方程的通解为解综上所述原方程的通解为解代入上述方程得从而原方程有一特解为解代入上述方程得比较系数得故从而原方程有一特解为解对应的齐次方程的通解为从而原方程有一特解为故原方程的通解为引入算子记号:由数学归纳法可以证明:四、欧拉方程关于变量t的常系数线性微分方程。 解作代数运算后得即这是一个三阶常系数线性非齐微分方程且方程()对应的齐方程的通解为为方程()特解形式代入方程()中得从而故原欧拉方程的通解为例例解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即②特征根:设特解:代入②解得A=,所求通解为例例解:由题设得定解问题③则③化为特征根:设特解:④⑤代入⑤得A=得通解为得通解为利用初始条件④得故所求特解为思考:如何解下述微分方程思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令。

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