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高考数学恒成立问题的一般解法(可编辑)doc下载

高考数学恒成立问题的一般解法高考数学复习中的恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法有利于考查学生的综合解题能力在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型②二次函数型③变量分离型④根据函数的奇偶性、周期性等性质⑤直接根据函数的图象。 、一次函数型:给定一次函数y=f(x)=axb(ane),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成同理若在m,n内恒有f(x)则有例、对于满足|p|的所有实数p,求使不等式xpxpx恒成立的x的取值范围。

分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量另一个作为常数。

显然可将p视作自变量则上述问题即可转化为在内关于p的一次函数大于恒成立的问题。

略解:不等式即(x)pxx,设f(p)=(x)pxx,则f(p)在,上恒大于故有:即解得:therex或x、二次函数型若二次函数y=axbxc=(ane)大于恒成立则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例、设f(x)=xax,当x,)时都有f(x)a恒成立求a的取值范围。 分析:题目中要证明f(x)a恒成立若把a移到等号的左边则把原题转化成左边二次函数在区间,)时恒大于的问题。

解:设F(x)=f(x)a=xaxaⅰ)当=(a)(a)时即a时对一切x,)F(x)恒成立ⅱ)当=(a)(a)时由图可得以下充要条件:即得a综合可得a的取值范围为。

例、关于x的方程x(a)x=恒有解求a的范围。 分析:题目中出现了x及x故可通过换元转化成二次函数型求解。 解法(利用韦达定理):设x=t,则t则原方程有解即方程t(a)t=有正根。

即EMBEDEquation解得a解法(利用根与系数的分布知识):即要求t(a)t=有正根。 设f(x)=t(a)t=,即(a)=,therea=或a=a=时f(x)=(t)=,得t=不合题意a=时f(x)=(t)=,得t=,符合题意。 therea=,即a或a时∵f()=,故只需对称轴即atherea综合可得a、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量其中一个变量的范围已知另一个变量的范围为所求且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例、已知当xR时不等式acosxsinx恒成立求实数a的取值范围。 分析:在不等式中含有两个变量a及x其中x的范围已知(xR)另一变量a的范围即为所求故可考虑将a及x分离。 解:原不等式即:sinxcosxa要使上式恒成立只需a大于sinxcosx的最大值故上述问题转化成求f(x)=sinxcosx的最值问题。 f(x)=sinxcosx=sinxsinx=(sinx),therea即a上式等价于或解得a注:注意到题目中出现了sinx及cosx而cosx=sinx,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

另解:acosxsinx即asinxsinx,令sinx=t,则t,,整理得tta,(t,)恒成立。

设f(t)=tta则二次函数的对称轴为t=,f(x)在内单调递减。 只需f(),即a(下同)、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数则对一切定义域中的x,f(x)=f(x)(f(x)=f(x))恒成立若函数y=f(x)的周期为T则对一切定义域中的x,f(x)=f(xT)恒成立。 例、若f(x)=sin(x)cos(x)为偶函数求的值。 分析:告诉我们偶函数的条件即相当于告诉我们一个恒成立问题。

解:由题得:f(x)=f(x)对一切xR恒成立sin(x)cos(x)=sin(x)cos(x)即sin(x)sin(x)=cos(x)cos(x)sinxmiddotcos=sinxmiddotsinEMBEDEquationsinx(sincos)=对一切xR恒成立只需也必须sincos=。 EMBEDEquation=k(kZ)、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象则可以通过画图直接判断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例、当x(,)时不等式(x)logax恒成立求a的取值范围。

分析:若将不等号两边分别设成两个函数则左边为二次函数图象是抛物线右边为常见的对数函数的图象故可以通过图象求解。 解:设y=(x),y=logax,则y的图象为右图所示的抛物线要使对一切x(,),yy恒成立显然a,并且必须也只需当x=时y的函数值大于等于y的函数值。

故loga,a,a例、已知关于x的方程lg(xx)lg(xa)=有唯一解求实数a的取值范围。 分析:方程可转化成lg(xx)=lg(xa),从而得xx=xa,注意到若将等号两边看成是二次函数y=xx及一次函数y=xa则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。

解:令y=xx=(x),y=xa,则如图所示y的图象为一个定抛物线y的图象是一条斜率为定值而截距不定的直线要使y和y在x轴上有唯一交点则直线必须位于l和l之间。 (包括l但不包括l)当直线为l时直线过点()此时纵截距为a=,a=当直线为l时直线过点()纵截距为a=a=therea的范围为)。

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